MODUL 7 SISTEM
KOORDINAT
KB.1 Sistem Bilangan Real dan Koordinat
Bentuk Desimal
dari Bilangan Rasoianal
Bilangan rasional adalah
bilangan real yang berbentuk a/b, degan a, b € himpunan bilangan bulat dan ≠ 0.
Contoh :
4/7 = 0,571428571428571… (bilangan di belakang
koma terjadi pengulangan 571428 dan tidak
terbatas)
7/8 =
0,8750… (bilangan di belakang koma tidak berulang
dan berakhir dengan
pengurangan bilangan nol)
Bentuk Desimal dari Bilangan Irrasional
Bilangan irrasional adalah bilangan real yang tidak dapat dibentuk
menjadi a/b.
Contoh :
√7 = 2,6457513110645… (bilangan
di belakang koma tidak berulang
dan tidak terbatas
dan tidak berakhir dengan pengulangan bilangan nol)
√37 = 6,0827625302982…(bilangan di belakang koma tidak berulang
dan tidak terbatas
dan tidak berakhir dengan pengulangan bilangan nol)
Sistem Koordinat Kartesius
Sistem koordinat kartesius pada bidang dua
dimensi dibentuk oleh dua garis bilangan real
yaitu garis horizontal dan garis
vertical yang saling
berpotongan tegak lurus di titik nol dari
setiap garis tersebut.
Dua garis yang saling berpotongan tegak lurus disebut
sumbu koordinat atau secara sederhana
disebut sumbu. Sumbu-x
dan sumbu-y membagi
bidang koordinat menjadi
4 wilayah yang disebut kuadran.
Penomoran kuadran diurut menurut arah yang berlawaan dengan arah jarum jam.
Bidang Koodinat
Rumus Jarak (Distance)
Ketika dua titik dihubungkan dengan garis lurus , bagian garis
anatara dua titik disebut ruas garis.
Teorema phytagoras dapat digunakan
untuk menentukan panjang ruas garis
yang tidak sejajar dengan sumbu koordinat.
Jarak Ruas Garis AB
Misalkan diberikan dua titik A(x1, y1) dan B(x2, y2). Jarak titik A dan B sanggup
ditentukan dengan pemberian
segitiga siku-siku yaitu dengan menciptakan garis sejajar sumbu x yang melalui A dan garis sejajar
sumbu y melalui B. keduanya berpotongan di titik C sehingga terbentuk segitiga siku-siku ABC yang siku-siku di C.
Panjang sisi AC merupakan
selisih absis dari kedua titik, sedangkan panjang sisi BC merupakan selisih dari ordinat
kedua titik. Sehingga didapatkan :
Persamaan Lingkaran
Lingkaran adaah tempat kedudukan titik-titik (x, y) pada bidang yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang disebut pusat lingkaran, jarak titik-titik
(x, y) terhadap titik pusat disebut jari-jari
dan dilambangkan r.
Lingkaran dengan Pusat a,b
Sistem Koordinat Kutub (Polar
Coordinate Sistem)
Dalam system koordinat kartesius, tempat keduduan titik
pada bidang ditunjukkan oleh pasangan terurut bilangan
real (x, y). Selain koordinat
kartesisus, untuk menunjukkan posisi suatu titik
pada bidang dalam system kordinat dapat juga digunakan koordinat kutub
atau koordinat polar. Untuk
menggambarkan koordinat polar pada bidang, kita mulai dengan menetapkan suatu
titik O dan titik tetap ini
disebut titik asal (origin) atau kutub (pole).
Hubungan Koordinat Kutub dengan Koordinat
Kartesius
Jika sumbu-sumbu pada sistem koordinat kutub dan sistem koordinat kartesius
dihimpitkan hinga saling menutup maka
letak suatu titik pada sistem koordiat kutub yang ditandai dengan pasangan terurut (r, o) dan titik pada
sistem koordinat katesius yang ditandai dengan pasangan terurut (x, y) dapat dihubungkan
oleh persamaan berikut.
KB 2 PERSAMAAN
DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
A. Persamaan Linear
Kata
persamaan dihubungkan dengan tanda (=), sedangkan kata Linear kita sebut
sebagai garis lurus.
Definisi
persamaan Linear adalah persamaan suatu variable berpangkat 1 yang memiliki
bentuk : (ax+b=c) atau jika dalam
modul bertuliskan y= ax+b. dengan (a) adalah kooefisien, (x) adalah variabel
dengan nilai x≠0, dan (b,c)
adalah konstanta.
Contoh dari bentuk
dari persamaan garis.
Penyelesaian
persamaan dua variable adalah pasangan terurut dari bilangan (x,y) yang menyebabkan persamaan menjadi pernyataan yang
bernilai benar.
Contoh 1
1
(Kita tentukan (x,y) = (4,4) dengan
persamaan y= 2x +2). kita buktikan bahwa (x,y)=(4,4) ini
1
memang benar atau sama dengan persamaan y= 2x +2.
Jawaban :
1
y = 2x +2
Contoh 2
Tentukan persamaan garis dengan (x,y) (6,5)
1
Dengan tetap memakai persamaan y= 2x +2.
1
y = 2x +2
5 = 1 (6) +2
2
4 = 1 ( 4) +2
2
4 = 1 x 4 +2
2
4 = 4 +2
2
4 = 2+2
4 = 4
Secara
umum, persamaan linear dalam dua variabel mempunyai penyelesaian yang tidak
terbatas banyaknya. Dengan memilih
berapapun nilai untuk (x) dan
mendistribusikan nilai (x) tersebut kedalam persamaan
tersebut menjadi pernyataan yang bernilai benar.
Contoh :
Menggambar Persamaan Linear 2 Variabel
Setiap penyelesaian suatu
persamaan linear dapat ditunjukkan atau direpresentasikan secara visual pada system koordinat kartesius.
Representasi dari penyelesaian suatu persamaan linear adalah garis, dan garis tersebut dapat ditentukan melalui 2
titik. Untuk menggambar sebuah garis sebagai
penyelesaian suatu persamaan linear dengan variabel x dan y, biasanya diawali
dengan saling berpotongan tegak lurus
dititik asal 0. dua garis tersebut adalah garis horizontal yang merupakan sumbu -x, dan garis vertical
merupakan sumbu -y. kemudian menentukan setidaknya 2 buah titik penyelesaian dari persamaan linear dan
meletakannya pada system koordinat kartesius.
Langkah-langkah
untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan metode grafik adalah
sebagai berikut
•
Tentukan titik potong garis dengan
sumbu x, syaratnya y = 0
•
Tentukan titik potong garis dengan
sumbu y, syaratnya x = 0
•
Kedua langkah ini dapat kita sederhanakan dengan
tabel berikut ini
•
Gambar garis dari setiap persamaan
•
Menentukan titik potong kedua persamaan, yang merupakan
hasilnya.
Contoh Soal:
Tentukan himpunan penye
grafik berikut ini:
3x + y = 15
x + y = 7
|
|
lesaian dari persamaan linear dua variabel dengan metode
Jawab :
3x + y =
15
1. Titik potong
dengan sumbu x, syarat y = 0. 3x + 0 =
15
x = 5.
Titik potong (5, 0)
2. Titik potong
dengan sumbu y, syarat x = 0.
Gradien Persamaan Garis Lurus
Gradien
menunjukan kemiringan dari suatu persamaan terhadap garis x. Gradien
dinotasikan dengan huruf m.
Berdasarkan gambar berikut:
Kemiringan/gradien
adalah perbandingan antara jarak garis yang diproyeksikan kesumbu y terhadap proyeksi garis terhadap sumbu
x.
Macam-macam gradien garis :
• Gradien garis lurus positif,
jika arah garis dari kiri ke kanan atas
• Gradien garis lurus yang sejajar sumbu –x adalah
nol, karena arah garis vertikal tidak ada
• Gradien lurus negatif, jika arah garis dari kiri ke kanan bawah
•
Gradien garis lurus yang sejajar
sumbu –y tidak terdeteksi, karena arah garis horizontal tidak ada ( menyebabkan pembagiannya nol dan hasilnya tidak
didefinisi). Hal ini berarti garis yang sejajar sumbu –y tidak mempunyai gradien
• Misalnya garis lurus
k gradiennya m1 dan garis
j saling tegak lurus, maka gradien
gradiennya menunjukan hubungan
m 1=−1
m 2
dengan m2 ≠ 0 atau m1
– m2 = -1.
Menentukan Persamaan Garis yang melaui Titik dengan Gradien
Tertentu
Jika (x1,y1) adalah
titik pada garis dan (x,y) adalah titik lain pada garis yang sama, maka gradien dari (x1,y1) ke (x,y) adalah
m= y− y
1
x−x 1
y− y 1=m ( x−x 1) adalah persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik ( x , x 1)
Contoh soal
Tentukan persamaan garis yang memiliki
gradien 3 dan melalui titik:
(3, 6)
Pembahasan
Menentukan persamaan
suatu garis lurus
jika telah diketahui gradiennya dengan cukup satu titik yang diketahui
Masukan angkanya didapatkan hasil melalui
titik (3,6)
Menentukan Persamaan Garis
yang Melalui Dua Titik
(x1,y1) dan (x2,y2) adalah
titik-titik pada satu garis, dan (x,y) adalah
titik lain pada garis yang sama
dengan gradien.
Gradien
garis dari (x1,y1) ke (x,y) adalah m1 Gradien
garis dari (x2,y2) ke )(x,y) adalah
m2
m = y− y 1
dan m
= y− y 2
1 x−x 1 2 x−x 2
Persamaan garis untuk melalui
dua titik
Contoh soal
Tentukan persamaan
garis yang melalui titik (3, 4) dan titik (5,
12)!
Pembahasan
Menentukan persamaan
suatu garis lurus jika diketahui
dua buah titik yang dilaluinya:
masukkan, dengan
titik (5, 12)
Pertidaksamaan linear
Pertidaksamaan
Linear adalah pertidaksamaan dari persamaan linear yang diubah menjadi pertidaksamaan.
Pertidaksamaan linear
memiliki bentuk umum:
§
ax + by ¿ c
§
ax + by ≤ c
§
ax + by ¿ c
§
ax + by ≥ c
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear
di bawah ini: 2x + 3y ≥ 12
Jawab:
•
Langkah pertama adalah lukis garis 2x + 3y = 12 dengan cara menghubungkan titik
potong garis dengan sumbu X dan sumbu Y.
• Cari dua titik untuk menggambar diagramnya
•
Untuk menentukan daerah yang mana
adalah himpunan penyelesaian, maka dilakukan
dengan mengambil salah satu titik uji dari salah satu sisi daerah.
•
Sebagai contoh disini kita ambil
titik (0,0). Lalu disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga akan kita peroleh:
2 x0 + 3x 0 <
12
0 < 12
Sehingga,
0 ≥ 12 salah, yang berarti tidak dipenuhi sebagai daerah penyelesaian. Jadi, daerah penyelesaiannya yaitu daerah yang tidak masuk dalam titik (0,0).
Komentar
Posting Komentar