MODUL 9
BILANGAN BERPANGKAT DAN LOGARITMA
K.B I
Bilangan Berpangkat
Contoh bilangan
berpangkat adalah : 52, (-3)7, ( 1 )9 dan seterusnya. Lambang bilangan 2, 7
4
dan 9 dinamakan pangkat
dan angka-angka 5, (-3), ( 1 ) dinamakan bilangan
pokok.
4
Perhatikan Tabel berikut ini !
|
Bentuk Bilangan Berpangkat
|
Dibaca
|
Faktor
|
Nilai
|
|
52
|
5 pangkat dua
negatif tiga pangkat tujuh
1 pangkat sembilan
4
a pangkat n
|
5 x 5 = 2 faktor
-3 x (-3)
x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 7 faktor
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 9
4 4 4 4 4 4 4 4 4
faktor
a x a x a ….. x
a = n faktor
|
25
|
|
(-3)7
|
-2187
|
|
( 1 )9
4
an
|
1
262144
|
|
|
an
|
Definisi 9.1.
Jika a sembarang bilangan
real dan n sebarang bilangan
asli:
an = a1�a4�2a �4...3�a
n faktor
a disebut bilangan
pokok dan n dinamakan pangkat.
Pangkat Nol dan Negatif
Definisi 9.2.
Jika a ≠ o dan n bilangan bulat
positif (- n adalah bilangan bulat negatif) maka
Contoh : 30 = 1
3-1 =
3-2 =
1
31 =
1 =
32
1
3
1 dst 9
Formulasi Bilangan Berpangkat
Definisi 9.3 : a ≠ o, m dan
n sebarang bilangan
bulat.
Contoh:
a. k 5
�k11 = k 5+11 = k16
b. y4
�y-2 = y4+(
-2) = y2
c. e10 �r9
�er6 = e10+1 �r9+6 = e11r15
Pembagian Bilangan
Berpangkat dengan Bilangan
Pokok Tetap dan Perpangkatan Bilangan Berpangkat
|
Problem
|
Penulisan Lain
|
Nilai
|
|
57 : 51
|
57
51
|
57 .
5-1 = 57-1
|
= 56
|
|
57 : 52
|
57
|
57 .
5-2 = 57-2
|
= 55
|
|
|
5-2
|
|
|
|
5m : 5n
|
5m 5n
|
5m .
5-n =
5m-n
|
|
|
( 21 )3
|
|
21 . 21 . 21 = 2 . 2 . 2 = 23
|
|
( 23 )5
|
23 . 23 . 23 . 23 . 23 = (2
. 2 . 2) . (2 . 2 . 2) . . . (2 . 2 . 2)
|
|
|
|
|
5 faktor 3 faktor 3 faktor 3 faktor
|
|
= 2 . 2 . 2 . . . 2 = 215
|
Definisi 9.4
: , a
�0 dan n sebarang bilangan
bulat
Contoh:
Jika a �0 maka
1
a-3 a 3
1 a5 2
a-3
-3-(-5) -3+5 2
a-5 = 1
a 5
= a3 × 1
= a atau
a-5 = a = a = a
Definisi 9.5 , a �0 dan n sebarang
bilangan bulat
Contoh:
( a3 ) -5 =
1
(
a3 )5
= 1
a3×5
= 1
a15
= a-15
atau
( a3 )-5 = a3(-5) = a-15 =
1
a15
Pangkat dari Perkalian dan Pembagian
Suatu Bilangan
|
Problem
|
Faktor
|
Pengelompokan (dengan menggunakan hukum komutatif
dan asosiatif)
|
Nilai
|
|
( 2 �3�5) 3
|
( 2 �3�5) �( 2 �3�5) �( 2�3�5)
1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3
3 faktor
|
( 2 �2 �2) �( 3�3�3) �( 5�5 �5)
142 43 14 2 43 14 2 43
3 faktor 3 faktor 3 faktor
|
23 �33 �53
|
|
( 2 �3�c) 3
|
( 2 �3�c) �( 2 �3�c) �( 2�3�c)
1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3
3 faktor
|
( 2 �2 �2) �( 3�3�3) �( c �c �c )
142 43 14 2 43 14 2 43
3 faktor 3 faktor 3 faktor
|
23 �33 �c3
|
( a x b x c
)n = an bn cn
|
|
Dari uraian di atas dapat kita peroleh
Definisi 9.6 : a ≠ o,
b ≠ o, dan c ≠ o
Contoh :
1. ( 2 �3�5) 2 = 22 �32 �52
2. ( a �b �c) 3 = a3 �b3 �c3
|
Problem
|
Faktor
|
Pengelompokan
|
Nilai
|
|
❹2 ❹2
❹5 ❹
❹ ❹
|
2 2
❹
{5 5
2 faktor
|
2 ❹2
5❹5
|
22
52
|
|
❹2 ❹5
❹5 ❹
❹ ❹
|
2 2 2 2 2
❹ ❹ ❹ ❹ 15 454 25 45435
5 faktor
|
2 ❹2 ❹2 ❹2❹2
5❹5❹5❹5❹5
|
25
55
|
|
.
|
.
|
.
|
.
|
|
.
|
.
|
.
|
.
|
|
.
|
.
|
.
|
.
|
|
❹a ❹n
❹ ❹
❹b ❹
|
a ״ a
❹❹ a
❹ ❹
1b 44b2 4 43b
n faktor
|
❹a ״❹a ❹❹a❹❹
❹b ״b❹❹❹b❹❹
❹1 44 2 4 43❹
n faktor
|
an
bn
|
Dari tabel diatas
dapat diperoleh
❹a ❹n an
Definisi 9.7:
Contoh:
æ 2 ö2
❹b ❹= bn
22
; a ≠ o
dan b ≠ o
1. ç 5
÷ = 2
è ø 5
æ 2 ö6 26
ç ÷
5 6
è ø 5
❹a ❹- n bn
Untuk n bilangan
negatif berlaku:
Contoh:
❹b ❹ = an
; a ❹0; b ❹0
; n sebarang bilangan
bulat.
è ø 5
æ 9 ö-5 1
135
2. ç ÷
13
= ( 9
)5 = 5
è ø 13 9
Pangkat Bilangan Pecahan
Contoh:
(
-5) 2 = ( -5) ❹( -5) = 25
Bilangan negatif
5 disebut “akar
kuadrat” negatif dari 25.
Definisi 9.8.
Berdasarkan definisi
9.3:
am . an = am . an dan
( am ) n = amn untuk
m dan n bilangan bulat.
Definisi diatas juga berlaku untuk m
dan n bilangan pecahan. Jadi
untuk m = p, q, r, s bilangan bulat dan q ≠ o, s ≠
o berlaku:
p
q dan n =
r dengan
s
p r p +r
1.
am ×an = a q .a s = aq s = am+n
p r p - r
2.
am : an = a q : a s = a q s = am-n
r
n ❹p ❹s pr
3. ( am )
= ❹a q ❹= aqs = amn
❹ ❹
Contoh :
1. 161 = 4 sebab 42
1
= 16 dan 470
3. (32
)3
= 32.1
= 33
KB. 2
Terapan Bilangan
Berpangkat, Notasi Baku ( Scientific Notation )
Setiap bilangan dapat ditulis dalam notasi baku, dan terapannya digunakan pada disipin ilmu kimia,
fisika, anatomi, dan yang lain.
Definisi 9.9
|
6,4 x
106 artinya
|
6.400.000
|
|
0,3 x
108 artinya
|
30.000.000
|
|
3,75 x
10-5 artinya
|
0,0000375
|
|
2,0 x
10-9 artinya
|
0,000000002
|
|
|
Setiap bilangan dapat
ditulis dalam notasi
baku: a x 10n dengan
1< a < 10 dan n bilangan bulat.
Berikut contoh notasi baku
Bilangan negatif juga bisa ditulis dalam notasi baku seperti tertuang
dalam definisi berikut: Definisi
9.10
Setiap bilangan
negatif dapat dinyatakan
dalam notasi baku : a x 10n dengan –10 < a < –1 dan n
bilangan bulat.
Contoh:
1. -0,0701
= -7,01 x 10-2
2. -0,0000037 = -3,7 x 10-6
3. -0,0800000059 = -8,00000059 x 10-2
KEGIATAN BELAJAR 3
Logaritma dan Terapannya
Logaritma merupakan
invers dari perpangkatan suatu bilangan. Materi ini sering digunakan dalam
penyelesaian masalah fisika,
kalkulus, persamaan diferensial dan
lain-lain.
|
Problem
|
Perpangkatan
|
Logaritma
|
Hasil
|
|
1
243
|
1 = 3-5
35
|
3 log 1 = 3 log 3-5
243
|
-5
|
|
1
81
|
31 = 3-4
4
|
3 log 1 = 3 log 3-4
81
|
-4
|
|
1
27
|
1 = 3-3
33
|
3 log 1 = 3 log 3-3
27
|
-3
|
|
1
9
|
1 = 3-2
32
|
3 log 1 = 3 log 3-2
9
|
-2
|
|
1
3
|
1 = 3-1
31
|
3 log 1 = 3 log 3-1
3
|
-1
|
|
1
|
30
|
3 log 30
|
0
|
|
3
|
31
|
3 log 31
|
1
|
|
3n
|
3n
|
3 log 3n
|
n
|
Jika angka 3 diganti dengan a maka dapatkan
suatu bentuk umum :
x = an ❹ a logx = a logan = n
Keterangan :
a dinamakan bilangan pokok (basis) x bilangan
yang ditarik logaritmanya n hasil penarikan logaritma
Catatan :
1 = a0 Û
a = a0 Û
a log1 =
0
a log a =
1
Contoh :
1.
1 = 5-4 Û
5 log 1
= 5 log 5-4
= -4
625
2. 64 = 26 Û
625
2 log 64
=
2 log 26 = 6
3. -6 = 2 log
1 Û
64
1 = -6
64
Pembuktian formula-formula logaritma berikut ini menggunakan pendekatan deduktif.
Sifat
9.1
Jika p, x, dan
y bilangan
real positif dan p ≠ 1, maka
Bukti :
Misalkan
p log x = q dan p log y
= r, maka
x . y =
x . y =
pq . pr
pq+r
p log xy =
p log x+ p log y
→ terbukti
Bukti: Misalkan
p log x = q
dan
p log y = r
x = pq
Catatan :
y pr
x = pq-r
y
p log x = q - r
y
p log x = p log x - p log y y
è terbukti
Jika bilangan
pokok logaritma tidak ditulis,
berarti bilangan pokok logaritmanya adalah 10
Contoh :
1.
3 log18 =
3 log(2.32 )
= 3 log 2 + 3 log 32
= 3 log 2 + 2
2. 3 log 1
6
+ 3 log 54
+ 3
log162
– 3 log 4 1
2
= 3 log
1
2.3
+ 3 log 2.33
+ 3 log 2.34
– 3
log 32.2-1
= 3 log 2-1 + 3
log 3-1 + 3
log 2 + 3 log 33 + 3 log 2 + 3 log 34 - 3 log 32
= 3
log 2-1 + (–1) + 3 log 2 + 3 + 3 log 2 + 4 – 2 – 3 log 2-1
- 3 log 2-1
= 2 3 log 2 + 4
Sifat 9.2
p dan x bilangan real positif, p ❹ 1 dan n bilangan
rasional
Bukti
Misalkan
p log x = q ; makax = pq
Jika kedua
ruas dilogaritmakan dengan
bilangan pokok p maka
p log xn = p log pnq
p log xn = nq
Jadi
p log xn
= np log x → terbukti
Contoh:
Sederhanakan :
log y5
+ log 1
y 2
– 3log y
; untuk y ❹ 0
Penyelesaian :
log y5
+ log 1
y 2
–
3log y =
5log y
+ log y -2
–
3log y
= 5 log y
–
2 log y
–
3log y
Sifat 9.3
x : p Î real positif dan p ≠ 1
Bukti
Misal
p log x = q ; maka x
=
log x =
log x =
q =
pq
log pq q log
p log x log p
Jadi
p log x =
p log x =
log x log p log
x log p
→ terbukti
1 log 3
1 2 log 3 = 2
2 log 2
1 ❹0, 4771
= 2
0, 3010
= 0, 2385
0, 3010
= 0, 7925
2.
Diketahui : e 2,72
Penyelesaian :
e log16
log16
= log e
log16
= log 2,72
1,2041
= 0,4346
= 2,7706
Catatan :
Dua bilangan pokok yang umum dipakai :
1.
Logaritma yang memakai
bilangan pokok 10
2.
Logaritma naturalis
yang memakai bilangan pokok e 2,72 biasa ditulis
e log x = 1nx
Sifat 9.4
p, x, y elemen bilangan real positif
m, n, Î
Q; p ≠ 1; n ≠ 0
Bukti
1.
p log x . x log y
log x
= log p
log y
, log x
log y
= log p
= p log y
Jadi
p log x . x log y =
p log y
2. Misal
p log x =
a ❹ x = pa.... (i)
p log x =
p log y
= a maka
p log y = a ❹ y = pa … (ii)
Dari (i) dan (ii) didapat
:
x =
pa =
y
3.
Misalkan
pn log xm = q
( pn )q = xm
❹ pnq = xm
m
❹ pq = x n
maka
Kedua ruas dilogaritmakan dengan
bilangan pokok p
❹ p log pq = p log xmn
Jadi
m
❹ q = p log x n m
pn log xm = p log x n
Contoh:
1. 2 log 5❹5 log 3❹3 log 8 = ( 2 log 5 ❹5 log 3) ❹3 log 8
= 2 log 3❹3 log 8
= 2 log 8
= 2 log 23
= 3
2. 16 log 64 = 24 log 26
6
= 2 log 24
3
= 2 log 22
= 3
2
Penerapan Logaritma
A.
Model Bunga Majemuk
❹ i
1.
Dengan
rumus bunga majemuk biasa : Mt =
Mo ❹1+ ❹
❹ ❹
dimana
Mt = jumlah pinjaman
atau tabungan setelah
t tahun
Mo = jumlah
sekarang(tahun ke-0) i = tingkat bunga per tahun
m = frekuensi pembayaran
bunga t = jumlah taahun
Contoh:
Seorang ibu rumah tangga meminjam uang sebesar Rp.
10.000.000,00 pada seorang pelepas uang
untuk jangka waktu 2 tahun. Suku bunga sebesar 10% per tahun diperhitungkan
secara harian (dalam bisnis 1
tahun=360hari). Hitunglah jumlah yang harus dibayar oleh ibu rumah tangga tersebut pada saat hutangnya jatuh tempo!
Penyelesaian
a.
Tanpa menggunakan logaritma
M = 10.000.000
æ1 +
è
0,1 ö360 x 2
360 ÷
= 10.000.000 (1,0003)720
= 10.000.000 (1,2411)
= 12.411.000
b.
Dengan menggunakan
logaritma
M2 = 10.000.000 (1,0003)360 x 2
|
log M2
|
=
|
log107 + 720log1,0003
|
|
|
=
|
7+0,0938
|
|
|
=
|
7,0938
|
|
M2
|
=
|
12.411.000
|
2.
Dengan rumus bunga
majemuk sinambung = M ≈ M eit
a.
Tanpa menggunakan logaritma Mt = 10.000.000 e0,1(2)
Mt = 10.000.000 ( 2,7183) 0,2
Mt = 10.000.000
(1,2214)
Mt = 12.214.000
b. Dengan menggunakan logaritma Mt = 10.000.000 e0,2
|
ln Mt
|
=
|
ln 10.000.000 + 0,2 ln
e
|
|
ln Mt
|
=
|
16,1181 + 0,2
|
|
ln Mt
|
=
|
16,3181
|
|
Mt
|
=
|
12.214.000
|
Jadi jumlah
pelunasan hutang sekitar
Rp. 12.000.000,00 sampai Rp. 12.400.000,00
B.
Model Pertumbuhan
P = P (1+ r)t-1
t 1
Dimana
P1 = jumlah
pada tahun pertama
Pt = jumlah pada tahun ke-t
r = persentase pertumbuhan
per tahun t = indeks waktu (tahun
ke..)
Contoh:
Penduduk suatu kota berjumlah 2 juta jiwa pada tahun 2006, dan tingkat pertumbuhan penduduknya 3% per tahun. Hitunglah perkiraan jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2020. Jika mulai tahun 2020 pertumbuhannya menurun menjadi 1,5%,
berapa perkiraan jumlah penduduk 10
tahun kemudian?
Penyelesaian:
P1
= 2 juta r = 0,03
t= tahun ke
15
a.
Perkiraan jumlah penduduk
tahun 2020.
p = 2.000.000(1+ 0, 03)14
=
2.000.000(1, 512589725)
= 3.025.197
Dengan menggunakan logaritma:
log P15
P15
= log(2 ❹106 )(1, 03)14
= log 2 + 6 log10 +14 log1, 03
= 6, 480751142
= 3.025.179
b.
Perkiraan jumlah penduduk 10 tahun kedepan
P1= 3.025.179
r = 0,15
t= 10
P = 3.025.179(1+ 0, 015)9
= 3.025.179(1, 015)9
=
3.025.179(1,143389975)
= 3.458.959
Dengan menggunakan logaritma: log P10 = log 3.025.179 +
9 log1, 015
log P10 = 6, 538945457
P10 = 3.458.959
Komentar
Posting Komentar